Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

   Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal
Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono

 Num prisma temos os seguintes elementos:

  • bases (polígonos);          
  • faces (paralelogramos);
  • arestas das bases (lados das bases);
  • arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);
  • vértices (pontos de encontro das arestas);
  • altura (distância entre os planos das bases).

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Planificação:

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Principais sólidos

Este sólido geométrico chama-se  cubo

É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados.

Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

Chamamos paralelepípedo a este prisma. 

Todas as suas faces têm a forma de rectângulos.

Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.

Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.

O prisma quadrangular tem nas suas bases quadrados.

Tem 8 vértices, 12 aresta, 6 faces e duas bases.

Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos.

Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.

Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo.

Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base.

Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base.

Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.

A base da pirâmide pentagonal é um pentágono.

Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.

A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva.

A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.

Este sólido geométrico chama-se cilindro.

Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de circunferências

O cone está limitado por uma superfície curva.

Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice.

        Área e Volume de um Prisma Reto

Para calcular a área da superficie de um prisma, calcularemos a area das bases e a area das laterais (para calcular a area das laterais, calcularemos a area de todos os poligonos laterias e somaremos a área de todos eles), e somaremos a duas, formando a área total(At). Já para calcular o volume, usaremos a seguinte fórmula V = Bh, onde B é a área da base e h é a altura do prisma, que corresponde a aresta lateral do prisma.

Um prisma é regular se, e somente se, é reto e seus polígonos das bases são regulares.

Note que em todo prisma regular as faces laterais são retângulos congruentes entre si.

Paralelepípedo Reto-Retângulo

Todo prisma reto cujo polígono das bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulo.

Medida de uma diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo

Consideramos um paralelepípedo reto-retângulo, que tem as dimensões, comprimento, largura e altura, sejam as medidas a, b e c. Sejam d e D as medidas de uma diagonal da base e de uma diagonal do paralelepípedo:

 

Área total de um paralelepípedo retângulo

Consideremos um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões, comprimento, largura e altura, sejam as medidas a, b e c:



A área total paralelepípedo é a soma das áreas de suas seis faces. Temos, dentre essas faces, duas regiões retangulares de área ab, duas de área de área bc, Logo, a área total A, desse paralelepípedo é:

Cubo

O cubo (hexaedro regular) é um paralelepípedo reto-retângulo cujas arestas têm todas as mesmas medidas a.
As medidas de uma diagonal, da área total e do volume do cubo são feitas pelas fórmulas do paralelepípedo reto-retângulo de arestas a, b e c:

Medida da diagonal de um cubo cuja aresta mede a.

Área total do cubo cuja aresta mede a



Volume do cubo cuja aresta mede

prisma triangular regular

Ab = Aequilatero = l2 / 4
Aface = Aretângulo
Al = 3 Af
At = Al + 2Ab

V = Ab . h

Prisma Hexagonal regular

Ab = 6 Aequilatero = 6 . l2 / 4

Af = 6 Aretangulo

Al = 6Af
At = Al + 2Ab

V = Ab . h


 

 Existem apenas cinco sólidos platónicos, que são os seguintes:

Sólidos platónicos

Um dodecaedro é um poliedro de 12 faces.

Um dodecaedro regular é constituído por 12 pentágonos regulares e é um do Sólidos Platónico

A área A e o volume V de um dodecaedro regular de aresta a é:

A=3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2
V=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}(15+7\sqrt5)a^3

Planificação de um dodecaedro regular

Imagem:Dodecahedron flat.svg

Em geometria, os poliedros estão associados aos pares, chamados duais, onde os vértices de um inscrevem às faces do outro. O dual do dual é o poliedro original. O dual de um poliedro com vértices equivalentes é um com faces equivalentes, e de um com arestas equivalentes é outro com arestas equivalentes. Assim os poliedros regulares — os Sólidos Platónicos e os Poliedros de Kepler-Poinsot — estão organizados em pares de duais.

Os sólidos duais dos sólidos de Arquimedes são os Sólidos de Catalan e vice-versa.

O dual de um poliedro regular é o poliedro que se obtém unindo por segmentos de recta os centros das faces consecutivas do poliedro dado.

O Poliedro dual do dodecaedro é o Icosaedro.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/frame.htm

 

http://clientes.netvisao.pt/lbonito/docs/solidosgeometricos.pdf

 

http://web.educom.pt/pr1305/mat_geometri_solidos.htm

 

http://www.algosobre.com.br/index.php?option=com_seyret&task=videodirectlink&id=7&Itemid=121

 

http://caicmariano.blogspot.com/2008/05/matemtica-slidos-geomtricos.html

 

 http://www.dcc.ufba.br/~frieda/solidosgeometricos/index.html

http://www.projetozk.ufjf.br/base_p/saladeaula/jeduardo/mat_blog.ht

 

http://www.webcalc.com.br/frame.asp?pag=http://www.webcalc.com.br/matematica/prisma_reto.html

 

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm204/solidos_geometricos.htm

http://br.youtube.com/watch?v=jgVq1Vk8MIE&feature=related

http://br.youtube.com/watch?v=4rVhhBcUzTo&feature=related

http://br.youtube.com/watch?v=MrIP-iY55yU&feature=related

 

vídeos sobre sólidos

http://br.youtube.com/watch?v=5QgIJOy7T7Y&feature=related

http://br.youtube.com/watch?v=oeHCucU_dXA&feature=related volume do paralelepípedo

http://br.youtube.com/watch?v=soMZjpyx5t4&feature=related

http://br.youtube.com/watch?v=mNAmA6ittsw&feature=related

http://br.youtube.com/watch?v=UaCXN9yWprE&feature=related

http://br.youtube.com/watch?v=L8H8RAqwMMA&feature=related

http://br.youtube.com/watch?v=Y24GCSjgInc&feature=related

http://br.youtube.com/watch?v=LcOZ29j6I00

 

 

relação entre unidades de volume     1m3 = 1000 litros        1dm3 = 1 litro     1cm3 =  1mililitro(ml)

                                     

 Exercícios de geometria dos Sólidos

 

1- Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10 m de largura e 14 m de comprimento. O revestimento será feito com 3 cm de espessura. Qual o volume de cimento utilizado nesse revestimento ?   resp  4,2 m3

 

2- Para encher uma laje de formato retangular, com 4 m de largura por 6 m de comprimento foi utilizado 2,88 m3  de cimento. Qual a espessura do concreto dessa laje ?  resp 12 cm

 

3- Determine o volume e a quantidade de azulejos , em m2, que serão necessários para a construção de uma piscina de 8 m de comprimento , 5 m de largura  e 1,6 m de profundidade. Se uma caixa de azulejo contém 2,5 m2 e custa R$ 12,00, qual o custo do azulejo para revestir essa piscina ?

 

4- Um cubo possui uma área total de 54 m2. Qual o volume desse cubo?   Resp 27 m3

 

5- Qual a quantidade de água necessária para preencher uma forma de gelo,  que contém 12 cubos de 2 cm por 3 cm e 1,5 cm

 

6- Sabe-se que um cubo tem 216 m2 de área total. Determine, em litros o seu volume?   resposta 216000 litros

 

7-Calcule o volume de um prisma triangular de altura 10 cm, cuja base é um triângulo eqüilátero de aresta 4 cm.

 

8- Calcule o volume de um prisma triangular,  cuja base é um triângulo eqüilátero de aresta 2 cm e que sua área lateral é 30 cm2.     5.raiz(3)

 

9- Considerando um prisma reto de 20 cm de altura, cuja base é um triângulo retângulo de cateto 8 cm e hipotenusa 17 cm. Determine a área lateral e o volume desse prisma ?

10. ( FATEC - SP ) Sendo um prisma triangular regular cuja aresta da base mede 3 e a altura é de 8, seu volume é de quanto?      a.6 .Raiz(3)        b.12.Raiz(3)      c.24    d.18.Raiz(3)     e.72

11. ( PUC - PR ) O volume de um prisma hexagonal regular de altura 4.Raiz(3)m é 72 m3 . Calcule a área total do prisma em m2.  a.)36       b).  36.Raiz(3)     c.) 48.Raiz(3)    d.) 60.Raiz(3)    e.) 72

12. Em um prisma hexagonal regular a altura mede 5 cm e a área lateral, 60 cm2. Calcule, em cm3, o volume desse prisma:   a)  30.Raiz(3)    b).18.Raiz(3)  c) 36.Raiz(3)  d ) 25.Raiz(3)  e) 12.Raiz(3)

13   ( PUC - SP ) Uma caixa d'água em forma de prisma reto tem aresta lateral igual a 6 dm e por base um losango cujas diagonais medem 7 m e 10 m. O volume dessa caixa, em litros é:  a 42 000  b 70 000  c 200 000  d 210 000  e 420 000

 14- Um cubo possui uma área total de 150 m2. Qual o volume desse cubo?   Resp 125 m3

 15- Qual a quantidade de água necessária para preencher uma forma de gelo,  que contém 12 cubos de 2 cm por 3 cm e 1,5 cm

16   ( PUC - SP ) Uma caixa d'água em forma de prisma reto tem aresta lateral igual a 6 dm e por base um losango cujas diagonais medem 7 m e 10 m. O volume dessa caixa, em litros é:                                                a 42 000  b 70 000  c 200 000  d 210 000  e 420 000

   lista de exercicios

1. A área total de um prisma quadrangular regular, cuja base é um quadrado de lado igual a 4 cm e altura 6 cm é, em cm2:  a) 16   b) 24  c) 96  d) 128  e) 126

2. Calcule volume e a área da superfície total de um prisma hexagonal regular,

sabendo-se que uma aresta de base mede 3 cm e a área lateral vale 90 cm2.

3. Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3 m e que tem área total de 80 m2. O lado dessa base quadrada mede:a) 1 m b) 8 m c) 4 m d) 6 m  e) 16 m

5. Sejam dois prismas regulares de mesma altura. O primeiro de base triangular e o segundo de base hexagonal. A aresta da base de ambos mede 2 cm. A razão entre seus volumes é : a) 1/6 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4

http://www.upvix.com.br/_admin/upload/exercicios/pc_matematica_exercicio_prismas_140807.pdf                                                  

  Cilindro Circular

Sejam α e β dois paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular limitado de bases C e C’ ou simplesmente cilindro circular.

Cilindro circular reto

Cilindro circular reto é todo cilindro circular cujas geratrizes são perpendiculares aos planos das bases.

Em todo cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.

O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360º de uma região retangular em torno de um eixo que contém um de seus lados.

Cilindro eqüilátero

Todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.

No cilindro eqüilátero a altura é igual ao diâmetro da base:

Área Lateral e área total de um cilindro circular reto

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r.
Para entender essa afirmação, retire as bases de um cilindro, corte sua superfície lateral sobre uma geratriz e, por fim, planifique (coloque sobre um plano) as três regiões obtidas.




A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:

Aℓ = 2 π r h

A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:

At = 2 π r h + π r2 + π r2 → At = 2π r h + 2π r2  =>  At = 2π r( h + r) 

                                             Volume do cilindro circular

O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:

                                                                    V = π r 2 h

                                             

Cone circular reto

Cone circular reto é todo cone circular cujo eixo é perpendicular ao plano da base.

Em todo cone circular reto. A altura é a medida do segmento cujos extremos são o vértice V e o centro O da base.

 

                      Pirâmide

 Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterias é chamado de vértice da pirâmide.

 Imagem:Rpyramid.svg     

Dentre as pirâmides temos como principais:

A indentificaçao das pirâmides segue essa linha de raciocinio, ou seja, depende do formado da base da pirâmide.

tetraedro regular

É uma pirâmide formada por quatro regiões triangulares congruentes e eqüiláteras. Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. O tetraedro é um caso particular de pirâmide regular.

                  

 

Volume de uma pirâmide

 

Para o calculo do volume de uma pirâmide usaremos uma fórmula fixa dada por : V = \frac{BH}{3}, onde B é a área da base da piramide e H é a altura da pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área lateral com a área da base.

Apótema de uma pirâmide regular

Chama-se apótema de uma pirâmide regular todo segmento de reta cujos extremos são o vértice da pirâmide e o ponto de um dos lados da base.

http://magiadamatematica.com/wp-content/uploads/piramides-conceitos-areas-e-volumes.pps#258,12,Slide 12

http://matmatika.googlepages.com/Apresentao-slidos.ppt#258,5,Slide%205


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